Cordes de piano et défaut

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Un atelier produit des cordes pour piano. On sait que \(2\; \%\) d'entre elles sont défectueuses. Avant commercialisation, un contrôle de qualité est effectué sur chacune des cordes produites :

• si la corde est sans défaut, elle est acceptée dans \(96\; \%\) des cas ;
  
• si la corde est défectueuse, elle est refusée dans \(98\; \%\) des cas.
  

1. Une corde sans défaut est contrôlée. Quelle est la probabilité qu’elle soit refusée ?

On tire une corde au hasard dans la production de l’atelier, puis on effectue le contrôle de qualité. On admet que toutes les cordes ont la même probabilité d’être tirées.
On note les deux événements suivants :
\(\text{D}\) : « la corde contrôlée est défectueuse »
\(\text{R}\) : « la corde contrôlée est refusée »
\(\overline{\text{D}}\) est l’événement contraire de \(\text{D}\) et \(\overline{\text{R}}\) est l’évènement contraire de \(\text{R}\).

2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant qui représente la situation.

3. Justifier que \(P(\text{R})\) vaut environ \(0{,}059\).
4. Suite au contrôle de qualité, la corde est refusée. Déterminer la probabilité qu’elle soit sans défaut. On arrondira le résultat obtenu au millième près.

On considère dans cette question que \(0{,}04\; \%\) des cordes commercialisées par cet atelier sont
défectueuses.
On change les \(230\) cordes d’un piano par des cordes vendues par l’atelier.
On admet que la production de l’atelier est suffisamment importante pour que le choix des
cordes puisse être assimilé à \(230\) tirages indépendants avec remise.

5. Quelle est la probabilité qu’au moins une des \(230\) cordes soit défectueuse ?